Pliki do wykorzystania w poniższym ćwiczeniu można pobrać za pomocą poniższych linków:
Całkowanie numeryczne jest jednym z podstawowych algorytmów używanych w obliczeniach inżynierskich. Całkowanie numeryczne zawsze dotyczy obliczania całki oznaczonej (jedno bądź wielowymiarowej). Nigdy natomiast nie dotyczy obliczania całki nieoznaczonej. Wynikiem jego działania jest wartość całki, a w żadnym razie wzór funkcji pierwotnej.
Wśród podstawowych algorytmów, jakimi będziemy się zajmować są:
trapez w pliku kwad.cpp. Nagłówek funkcji trapez ma następującą postać:double trapez(double a, double b, double (*fun)(double x), int n)Argumenty a, b i n to odpowiednio dolna i górna granica całkowania oraz liczba punktów, które dzielą przedział całkowania. Trzeci argument to wskaźnik do funkcji. Dzięki niemu procedura trapez jest w stanie obliczyć całkę z dowolnej funkcji. Nazwa funkcji, która jest jednocześnie jej adresem, informuje gdzie można znaleźć instrukcje obliczające wartości funkcji podcałkowej. Poprawne wywołanie to np. trapez(a, b, sin, n); lub trapez(1, 5, sqrt, 100);. Możesz też użyć tej procedury do obliczenia całki z funkcji, którą wcześniej zadeklarowałeś i zdefiniowałeś, np. trapez(a, b, MojaFunkcja, 50);, gdzie definicja funkcji MojaFunkcja ma postać:
double MojaFunkcja(double x) {
return x * x + sin(x);
}Zwróć uwagę, że funkcja musi mieć jeden argument typu double i musi zwracać wartość typu double.
Aby zrealizować zadanie z punktu 1, wykonaj następujące czynności:
a, b oraz n.cn oraz wartość całki analitycznej ca przez wywołanie odpowiednich funkcji.Przetestuj ten program dla dwóch funkcji: \[ f(x) = \frac{1}{x^2} \] oraz \[ f(x) = \frac{1}{x} \] dla \(a = 1\), \(b = 5\) oraz \(a = 0.1\) i \(b = 5\).
Rozszerz program tak, aby zapisywał do pliku kolejne wiersze odpowiadające wartościom \(n = 2, 4, 8, \ldots, 2^m\). Liczbę m wczytaj z klawiatury.
Wynik przedstaw graficznie, korzystając z arkusza kalkulacyjnego.
Rozszerz program tak, aby dodatkowo używał metody Simpsona. Jest ona zaimplementowana w funkcji o nagłówku double simpson(double a, double b, double(*fun)(double x), int n).
Otrzymane wyniki przedstaw graficznie.
Przeanalizuj poniższy kod ilustrujący użycie wskaźników do funkcji. Jakie wartości przyjmują zmienne y1 i y2?
// funkcja: y = 2 * x
double fun1(double x) {
return 2 * x;
}
// funkcja: y = -x
double fun2(double x) {
return -x;
}
// funkcja zwaraca y^2
double kwadrat(double xx, double (*pf)(double)) {
return pf(xx) * pf(xx);
}
void main() {
double y1 = kwadrat(2., fun1);
double y2 = kwadrat(2., fun2);
}Metody trapezów i Simpsona to dość elementarne procedury. W programach obliczeniowych, które wymagają wykonywania wielokrotnych całkowań (często wiele milionów razy - o takich metodach, np. metodzie elementów skończonych stosowanej chociażby w wytrzymałości konstrukcji - będziesz się uczyć na wyższych latach) trzeba używać procedur bardziej wydajnych obliczeniowo. Jedną klasę takich metod, które osiągają dużą dokładność przy niewielkiej liczbie punktów, w których obliczana jest funkcja podcałkowa (o tych punktach mówimy węzły kwadratury) stanowią kwadratury Gaussa.
Kwadratura Gaussa-Legendre’a jest w zdefiniowana dla następującej całki oznaczonej (zawsze w przedziale \(x = [-1, 1]\)). \[
I = \int_{-1}^{1}{f(x)dx}
\] Taką całkę w sposób przybliżony oblicza się zgodnie z następującym wzorem: \[
\int_{-1}^{1}{f(x)dx} \approx \sum_{i=1}^{n}{w_if(x_i)}
\] Wielkości \(w_i\) to kolejne wagi kwadratury, \(x_i\) to węzły kwadratury, a \(n\) oznacza liczbę węzłów, w których będzie obliczana wartość funkcji podcałkowej.
Aby obliczyć całkę tą kwadraturą, trzeba znać położenia węzłów i wartości wag. Wielkości te można obliczyć lub skorzystać z tablic zawierających obliczone wartości \(w_i\) i \(n_i\) dla różnych wartości \(n\) (przykładowo, można je znaleźć w Internecie1). Położenia węzłów i wartości wag dla \(n = 5\) są podane w poniższej tabeli:
| \(x_i\) | \(w_i\) |
|---|---|
| -0.9061798459386639927976269 | 0.2369268850561890875142640 |
| -0.5384693101056830910363144 | 0.4786286704993664680412915 |
| 0.0 | 0.5688888888888888888888889 |
| 0.5384693101056830910363144 | 0.4786286704993664680412915 |
| 0.9061798459386639927976269 | 0.2369268850561890875142640 |